FUNGSI RASIONAL

FUNGSI RASIONAL

Kita sudah mengenal fungsi suku banyak berderajat dua  seperti f(x) = ax² + bx + c.  Sekarang kita akan mempelajari suatu fungsi yang berbentuk f(x) = g(x)/f(x), h(x) ≠ 0 dengan g(x) dan h(x) suatu  fungsi suku banyak berderajat satu ( linier) atau berderajat dua (kuadrat) yang kita sebut dengan fungsi rasional.  Bentuk-bentuk umum fungsi rasional yang akan kita pelajari adalah  :

1. f(x) = ax + b/ cx + d
2. f(x) = ax + b / px² + qx + r
3. f(x) = ax² + bx + c / px² + qx + r
4. f(x) = ax² + bx + c / px + q

Menggambar grafik fungsi rasional perlu memperhatikan hal-hal berikut  :

1. Menentukan koordinat titik potong dengan sumbu koordinat  ( sumbu x dan sumbu y)
2. Menentukan asimtot ( datar, tegak atau miring )
3. Menentukan titik stasioner
4. Menyelidiki daerah fungsi
5. Menentukan titik belok dan kecekungan
6. Menentukan beberapa titik bantu jika diperlukan
7. Fungsi Rasional berbentuk f(x) = ax + b / cx + d , dimana cx + d ≠ 0

Untuk menggambar grafik bentuk ini, kita cari terlebih dahulu hal-hal sebagai berikut

1. Menentukan koordinat titik potong dengan sumbu x,  y = 0

y = ax + b / cx + d

ax + b = 0, maka x = -b/a

Jadi ( -b/a,0)

2. Menentukan koordinat titik potong dengan sumbu y, x = 0

y = b/d, jadi ( 0,b/d)

3. Menentukan asimtot, ada 2 yaitu asimtot datar dan tegak

- Asimtot datar diperoleh apabila x → ~, maka y = a/c

- Asimtot tegak diperoleh apabila y → ~, maka x = -d/c

4. Menentukan daerah grafik fungsi adalah dengan mancari nilai positif dan negative dari

fungsi  dengan batas-batas harga nol pembilang atau penyebut

5. Menentukan beberapa titik bantu

Contoh soal   :

1. Gambarlah grafik fungsi     y = f(x) = 2x – 4 / x – 1

Jawab  ;

y = f(x) = 2x – 4 / x – 1

# Titik potong dengan sumbu x dicapai untuk y = 0

0 = 2x – 4 / x – 1

2x – 4   = 0 , maka x = 2

Jadi koordinat titik potong dengan sumbu x yaitu ( 2,0)

#  Titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0

y =  0 – 4 / 0 – 1 = – 4/-1 = 4

Jadi koordinat titik potong dengan sumbu y yaitu ( 0,4)

# – Asimtot datar, y = a/c = 2

- Asimtot tegak, x = -d/c = 1

#  Daerah grafik fungsi :

2x -4 = 0 , maka   x = 2       dan  x – 1 = 0, maka   x = 1

 

# Beberapa titik Bantu

x	- 3	-1	0	1	2	3	5
y	2 ½	3	4	~	0	1	3/2

# Gambar  : Terlampir

2. Grafik fungsi f(x) = ax + b / cx + d   melalui titik ( 5, -3/2) dan mempunyai asimtot dengan persamaan y = -5 dan x = -5.  Tentukan persamaan fungsi tersebut dan gambar grafiknya !

Jawab  :

#   y = – 5   adalah asimtot tegak dengan rumus   y = a/c

Jadi    a/c = -5, maka  a = – 5c

# x = -5  adalah asimtot datar dengan rumus  x = -d/c

Jadi –d/c = -5, maka d = 5c

# Grafik melalui titik ( 5, -3/2) artinya  :

y = ax + b/ cx + d

-3/2 = 5a + b / 5c + d

-3 (5c + d ) = 2 ( 5a + b )

- 15 c – 3d = 10a + 2b

- 15 c – 15c = -50c + 2b

- 30 c + 50c = 2b

b = 20/2 c = 10 c

Jadi persamaannya menjadi  :

y = ax + b/cx + d = -5cx + 10c/cx + 5c = -5x + 10/x + 5

# Untuk menggambar : Terlampir

Soal

1. Gambar grafik dari fungsi berikut :

a. f(x) = 2x/x – 3

b. f(x) = 3x – 18 / x + 3

2. Grafik fungsi   y = ax + b/cx + d melalui titik ( 2,-3/2) serta mempunyai asimtot tegak x = -2 dan asimtot datar y = 2.  Tentukan persamaannya dan gambar grafiknya !

 

B. Fungsi rasional berbentuk f (x) = ax + b / px² + qx + c

Untuk menggambar grafik fungsi berbentuk y = f(x) = ax + b / px² + qx + r, kita perlukan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Menentukan titik potong dengan sumbe x, y = 0

ax + b / px² + qx + r = 0

Jadi ax + b = 0  →  x  = -b/a, maka ( -b/a.0)

1. Menentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0

y =  b/r , maka   ( 0, b/r )

3.  a. Asimtot datar, x → ~

y = 0

b. Asimtot tegak, y → ~

berarti px² + qx + r = 0

4. Menentukan titik stasioner

5.  Daerah grafik

6.   Sketsa grafik

Contoh soal  :

1. Gambarlah grafik y = x + 2 / x² – 2x – 3

Jawab  :

y = x + 2 / x² – 2x – 3, didapat  a = 1, b = 2, p = 1, q = -2, r = -3

# Titik potong dengan sumbu x, y = 0

x = -b/a = -2/1= -2, jadi ( -2,0  )

# Titik potong dengan sumbu y, x = 0

y = b/r = 2/-3, jadi ( 0, -2/3 )

# 1.  Asimtot datar y = 0

2. Asimtot tegak, x² – 2x – 3 = 0

( x – 3) ( x + 1) = 0

x = 3  dan  x = -1

# Titik stasioner

y = x + 2/x² – 2x – 3 menjadi      y ( x² – 2x – 3 ) = x + 2

maka  yx² – 2xy – 3y – x – 2 = 0

yx² – ( 2y + 1)x – ( 3y + 2 ) = 0

Syarat : D = 0, mempunyai dua akar real

(-(2y + 1))² – 4y(-3y -2) = 0

4y² + 4y + 1 + 12y² + 8y = 0  menjadi 16y² + 12y + 1 = 0   dst

2. Diketahui grafik fungsi y = 2x + b/ px² + qx + r, memotong sumbu x dititik (3,0) dan sumbu y dititik ( 0,3/2) serta mempunyai asimtot tegak x = 2 dan x = -2. Tentukan persamaan funhsi tersebut !

Jawab : dst

 

1. Fungsi rasional berbentuk f(x) = ax² + bx + c/ px² + qx + r

Untuk menggambar grafik ini diperlukan langkah-langkah sbb  ;

1. Titik potong dengan sumbu x, y = 0

ax² + bx + c = 0.  Akar-akar dari persamaan  tsb merupakan absis titik potong dengan sumbu x

1. Titik potong dengan sumbu y, x = 0.  Didapat y = c/r
2. Asimtot datar diperoleh  apabila  x → ~.  Dan dapat  y = a/p
3. Titik potong kurva dengan asimtot datar

y = a/p maka  didapat   x = ar – cp/bp-aq

maka koordinatnya ( ar – cp/bp – aq, a/p ), dengan syarat bp – aq ≠ 0

1. Asimtot tegak diperoleh apabila y → ~. Dan didapat dari akar-akar persamaan

px² + qx +  r  = 0

1. Menetukan titik stasioner
2. Daerah grafik
3. Menentukan beberapa titik Bantu
4. Menggambar grafik fungsi

Contoh soal :

1. Gambar grafik fungsi f(x) = x² – 3x – 10/ x² + 2x -3
2. Grafik dengan persamaan y = x² + bx + c/px² + qx + 4, memotong sumbu x dititik (4,0) dan melalui titik ( -4,2) serta memotong sumbu y dititik ( 0,-2 ), asimtot datarnya  y = 1

 

D. Fungsi rasional berbentuk f(x) = ax² + bx + c / px +  q

Langkah-langkahnya sama, hanya  tidak mempunyai asimtot datar tetapi mempunyai asimtot miring. Sedangkan cara mancari asimtot miring dibagi pembilang ax² + bx + c dengan  penyebut px + q, sehingga didapat bentuk

y = (mx+n) + d / px + q  dan untuk persamaan asimtot miring adalah y = mx + n

Contoh soal  :

Gambar grafik fungsi :

a. y = x² – x – 6 / x – 1

b. y = x² / x + 2